Matrius

Definició

• Una matriu és un conjunt d'elements organitzats en files i columnes, i cada element és una dada.

Dimensions de matrius

• Les dimensions de les matrius es mesuren per m × n, on m són les files i n les columnes.

Matrius iguals

• Dues matrius són iguals si són de la mateixa dimensió i els elements que ocupen la mateixa posició en les dues són iguals.

Matrius Transposades

Quan s'intercanvia files per columnes s'obté la seva transposada.

• 

  Matriu C 2x3

• 

  Matriu Transposada C^t 2x3

Classificació de Matrius

• 

  Una matriu de dimensió m x n és rectangular si m ≠ n

• 

  Una matriu és quadrada si m = n

• 

  Una matriu fila és una matriu rectangular amb una sola fila

• 

  Una matriu columna és una matriu rectangular amb una sola columna

Classificació de matrius quadrades

• Les matrius quadrades no són de dimensió m x n sinó n x n.
• a_ii(Són aquells elements que són a la amteixa posició de fila i de columna), a_ij són els elements que la posició de fila no és la mateixa que la de la columna.

• A les matrius quadrades els elements en els quals l'índex de la fila és igual al de la columna formen la diagonal principal i són de la forma a_ii. (a₁₁, a₂₂, a₃₃)
• Els elements de la forma a_ij amb i + j = n + 1 formen la diagonal secundària.

Taronja -> Diagonal principal | Blau -> diagonal secundària

• Una matriu quadrada s'anomena triangular superior si són nuls tots els elements situats a sota la diagonal principal i s'anomena triangular inferior si són nuls tots els elements situats a sobre la diagonal principal.
• La matriu identitat o unitat és una matriu escalar en la qual els elements de la diagonal principal són tots 1. Si és d'ordre n, es denota per I_n.
• Una matriu quadrada és simètrica si es compleix que a_ij = a_ji, 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ n.
• Una matriu quadrada és antisimètrica si es compleix que a_ij = -a_ji, 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ n.
  • A les matrius simètriques es compleix que A = A^t i a les antisimètriques, A = -A^t.

• 

  Matriu Triangular Superior

• 

  Matriu Triangular Inferior

• 

  Matriu Diagonal

• 

  Matriu Escalar

• 

  Matriu Simètrica

• 

  Matriu Antisimètrica

Suma de matrius

• Només es poden sumar aquelles matrius de la mateixa dimensió, se suma element per element i això crea una matriu nova.
  • S = A_ij + B_ij

Exemple de suma de Matrius

Propietats de Sumes de Matrius

• La suma de matrius té les mateixes propietats conegudes de la suma de nombres reals.
• Si A_mxn = (a_ij), B_mxn = (b_ij) i C_mxn = (c_ij) són matrius de dimensió mxn, es compleixen les propietats:

1. Commutativa: A + B = B + A
   1. (a + b)_ij = a_ij + b_ij = b_ij + a_ij = (b + a)_ij
2. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
   1. ((a + b) + c)_ij = (a_ij + b_ij) + c_ij = a_ij + (b_ij + c_ij) = (a + (b + c))_ij
3. Element neutre: la matriu O_mxn és l'element neutre, és a dir, A_mxn + O_mxn = A_mxn
   1. (a + 0)_ij = a_ij + 0 = a_ij. L'element ij de la matriu A_mxn + 0_mxn és a_ij + o_ij = a_ij + 0 = a_ij
4. Matriu opasada: existeix una altre matriu, (-A)_mxn, que compleix: A_mxn + (-A)_mxn = O_mxn
   1. Els elements de la matriu (-A)_mxn sóm els oposats als de la matriu A_mxn: (-a)_ij = -a_ij
5. Transposada de la suma: (A + B)^t = A^t + B^t

Producte d'un nombre real per una matriu

• En multiplicar un nombre real amb una matriu crea una matriu nova.
• Per multiplicar agafes el nombre real i el multipliques per cada element de la matriu.

Exemple de multiplicació de matriu per un nombre real

Propietats del producte de nombres reals per matrius

• Si A_mxn = (a_ij) i B_mxn = (b_ij) són matrius de dimensió mxn i , λ, μ ∈ ℝ, es compleixen les propietats:

1. Commutativa: λA = Aλ
2. Distributiva respecte a la suma de matrius: λ (A + B) = λA + λB
3. Distributiva respecte la suma de nombres: (λ + μ)A = λA + μA
4. Associativa: λ(μA) = (λμ)A
5. Producte per la unitat: 1A = A

Producte d'una matriu fila per una matriu columna

• Es poden multiplicar si tenen el mateix nombre d'elements.
• El resultat és una matriu d'un sol element.

Exemple d'una matriu fila per una matriu columna

Producte de dues matrius

• Si el nombre de columnes de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona, es poden multiplicar.
• El resultat serà una matriu amb el nombre de files de la primera i amb el nombre de columnes de la segona.
• El producte de les matrius no és commutatiu.
• No són aplicables les fórmules dels productes notables.
• Només es pot treure factor comú quan el factor es repeteix a l'esquerra o quan es repeteix a la dreta. no es pot treure factor comú en expressions com: AB + CA.

Exemple de producte de dues matrius

Si A, B i C tenen la dimensió adequada per poder fer les sumes i els productes, el producte de matrius compleix les propietats següents:

1. Associativa: A(BC) = (AB)C
2. Distributiva: (A + B)C = AC + BC C(A + B) = CA + CB
3. Element neutre: I_m A_mxn = A_mxn A_mxn I_n = A_mxn
4. Transposada del producte: (AB)^t = B^tA^t

Rang d'una matriu

Rang per files

En saber quantes files són independents sabem el rang de files.

Rang per columnes

En saber quantes columnes són independents sabem el rang de files.