Determinants: diferència entre les revisions

De FFAWiki
Línia 42: Línia 42:


* '''det(C<sub>1</sub>,C<sub>2</sub>,C<sub>3</sub>) + det(C<sub>1</sub>,C'<sub>2</sub>,C<sub>3</sub>) = det(C<sub>1</sub>,C<sub>2</sub> + C'<sub>2</sub>,C<sub>3</sub>)'''
* '''det(C<sub>1</sub>,C<sub>2</sub>,C<sub>3</sub>) + det(C<sub>1</sub>,C'<sub>2</sub>,C<sub>3</sub>) = det(C<sub>1</sub>,C<sub>2</sub> + C'<sub>2</sub>,C<sub>3</sub>)'''
* Si una fila o columna d'una matriu quadrada es multiplica per un nombre real, el determinat de la matriu queda multiplicat per aquest nombre.
** '''det(C<sub>1</sub>,C<sub>2</sub>,KC<sub>3</sub>) = kdet(C<sub>1</sub>,C<sub>2</sub>,C<sub>3</sub>)'''
===Combinacions lineals===
* Si tots els elemntes d'una columna o fila d'una matriu quadrada són nuls, el determinant de l amatriu es zero.
** '''det(C<sub>1</sub>,0,<sub>3</sub>) = det(<sub>1</sub>,Csub>2</sub>-Csub>2</sub>) = det(C<sub>1</sub>,C<sub>2</sub>,C<sub>3</sub>) - det(C<sub>1</sub>,C<sub>2</sub>,C<sub>3</sub>) = 0'''
* Si una matriu quadrada té dies columnes o files iguals, el seu determinant és nul.
* Si una matriu quadrada, una columna o fila és proporcional a una altra, el seu determinant és nul.
**

Revisió del 15:15, 12 gen 2022

Definició

  • A les matrius quadrades de nombres reals se'ls pot associar un nombre anomenat determinant.

Determinant d'ordre 2

  • Per extreure el determinant (det(A) o |A|) d'una matriu quadrada d'ordre 2 s'ha de fer:
DeterminantOrdre2.png

Determinant d'ordre 3

  • Per extreure el determinant (det(A) o |A|) d'una matriu quadrada d'ordre 3 s'ha de fer:
DeterminantOrdre3.png
  • Per recordar els sumands del determinant d'ordre 3 i el signe podem fer servir la regla de Sarrus:.
ReglaDeSarrrus.png

Menor d'una matriu

  • El menor d'una matriu és aquell determinant que s'obté a partir del resultat d'eliminar d'una matriu quadrada qualsevol nombre de files o de columnes en una dimensió qualsevol.
  • El menor complementari de l'element aij denotat per Mij és aquell element que es troba en el mig de la fila i de la columna j.
  • A les matrius quadrades d'ordre 2, el menor complementari de qualsevol element és un nombre.
MenorsMatriu.png

Adjunt d'un element

  • A cada menor complementari se li pot assignar un signe, positiu si és parell i negatiu si és senar.
  • S'anomena de l'element aij (anomenat Aij), el seu menor complementari multiplicat per (-1)i+j:
    • (-1)i+jMij
És millor pensar que d'esquerra a dreta és: + - + - i així fins a acabar la matriu que fer la formula.

Determinant d'una matriu quadrada de qualsevol ordre

  • Si An = (ai+j) és una matriu quadrada d'ordren, el seu determinant s'obté per mitjà de la suma:
    • |A| = a11A11 + a12A12+a13 + ··· + a1nA1n
      • A = Andjunt de l'element, a = element.
DeterminantDeQualsevolMatriuQuadrada.png

Propietats dels determinants

Característiques dels elements d'una columna o fila

  • det(C1,C2,C3) + det(C1,C'2,C3) = det(C1,C2 + C'2,C3)
  • Si una fila o columna d'una matriu quadrada es multiplica per un nombre real, el determinat de la matriu queda multiplicat per aquest nombre.
    • det(C1,C2,KC3) = kdet(C1,C2,C3)

Combinacions lineals

  • Si tots els elemntes d'una columna o fila d'una matriu quadrada són nuls, el determinant de l amatriu es zero.
    • det(C1,0,3) = det(1,Csub>2-Csub>2) = det(C1,C2,C3) - det(C1,C2,C3) = 0
  • Si una matriu quadrada té dies columnes o files iguals, el seu determinant és nul.
  • Si una matriu quadrada, una columna o fila és proporcional a una altra, el seu determinant és nul.
Obtingut de «https://wiki.ffames.cat/index.php?title=Determinants&oldid=1375»