Matrius

Definició

• Una matriu és un conjunt d'elements organitzats en files i columnes, i cada element és una dada.

Dimensions de matrius

• Les dimensions de les matrius es mesuren per m × n, on m són les files i n les columnes.

Matrius iguals

• Dues matrius són iguals si són de la mateixa dimensió i els elements que ocupen la mateixa posició en les dues són iguals.

Matrius Transposades

Quan s'intercanvia files per columnes s'obté la seva transposada.

• 

  Matriu C 2x3

• 

  Matriu Transposada C^t 2x3

Classificació de Matrius

• 

  Una matriu de dimensió m x n és rectangular si m ≠ n

• 

  Una matriu és quadrada si m = n

• 

  Una matriu fila és una matriu rectangular amb una sola fila

• 

  Una matriu columna és una matriu rectangular amb una sola columna

Classificació de matrius quadrades

• Les matrius quadrades no són de dimensió m x n sinó n x n.
• a_ii(Són aquells elements que són a la amteixa posició de fila i de columna), a_ij són els elements que la posició de fila no és la mateixa que la de la columna.

• A les matrius quadrades els elements en els quals l'índex de la fila és igual al de la columna formen la diagonal principal i són de la forma a_ii. (a₁₁, a₂₂, a₃₃)
• Els elements de la forma a_ij amb i + j = n + 1 formen la diagonal secundària.

Taronja -> Diagonal principal | Blau -> diagonal secundària

• Una matriu quadrada s'anomena triangular superior si són nuls tots els elements situats a sota la diagonal principal i s'anomena triangular inferior si són nuls tots els elements situats a sobre la diagonal principal.
• La matriu identitat o unitat és una matriu escalar en la qual els elements de la diagonal principal són tots 1. Si és d'ordre n, es denota per I_n.
• Una matriu quadrada és simètrica si es compleix que a_ij = a_ji, 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ n.
• Una matriu quadrada és antisimètrica si es compleix que a_ij = -a_ji, 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ n.
  • A les matrius simètriques es compleix que A = A^t i a les antisimètriques, A = -A^t.

• 

  Matriu Triangular Superior

• 

  Matriu Triangular Inferior

• 

  Matriu Diagonal

• 

  Matriu Escalar

• 

  Matriu Simètrica

• 

  Matriu Antisimètrica

Suma de matrius

• Només es poden sumar aquelles matrius de la mateixa dimensió, se suma element per element i això crea una matriu nova.
  • S = A_ij + B_ij

Exemple de suma de Matrius

Propietats de Sumes de Matrius

• La suma de matrius té les mateixes propietats conegudes de la suma de nombres reals.
• Si A_mxn = (a_ij), B_mxn = (b_ij) i C_mxn = (c_ij) són matrius de dimensió mxn, es compleixen les propietats:

1. Commutativa: A + B = B + A
   1. (a + b)_ij = a_ij + b_ij = b_ij + a_ij = (b + a)_ij
2. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
   1. ((a + b) + c)_ij = (a_ij + b_ij) + c_ij = a_ij + (b_ij + c_ij) = (a + (b + c))_ij
3. Element neutre: la matriu O_mxn és l'element neutre, és a dir, A_mxn + O_mxn = A_mxn
   1. (a + 0)_ij = a_ij + 0 = a_ij. L'element ij de la matriu A_mxn + 0_mxn és a_ij + o_ij = a_ij + 0 = a_ij
4. Matriu opasada: existeix una altre matriu, (-A)_mxn, que compleix: A_mxn + (-A)_mxn = O_mxn
   1. Els elements de la matriu (-A)_mxn sóm els oposats als de la matriu A_mxn: (-a)_ij = -a_ij
5. Transposada de la suma: (A + B)^t = A^t + B^t

Producte d'un nombre real per una matriu

• En multiplicar un nombre real amb una matriu crea una matriu nova.
• Per multiplicar agafes el nombre real i el multipliques per cada element de la matriu.

Exemple de multiplicació de matriu per un nombre real

Propietats del producte de nombres reals per matrius

• Si A_mxn = (a_ij) i B_mxn = (b_ij) són matrius de dimensió mxn i , λ, μ ∈ ℝ, es compleixen les propietats:

1. Commutativa: λA = Aλ
2. Distributiva respecte a la suma de matrius: λ (A + B) = λA + λB
3. Distributiva respecte la suma de nombres: (λ + μ)A = λA + μA
4. Associativa: λ(μA) = (λμ)A
5. Producte per la unitat: 1A = A

Producte d'una matriu fila per una matriu columna

• Es poden multiplicar si tenen el mateix nombre d'elements.
• El resultat és una matriu d'un sol element.

Exemple d'una matriu fila per una matriu columna

Producte de dues matrius

• Si el nombre de columnes de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona, es poden multiplicar.
• El resultat serà una matriu amb el nombre de files de la primera i amb el nombre de columnes de la segona.
• El producte de les matrius no és commutatiu.
• No són aplicables les fórmules dels productes notables.
• Només es pot treure factor comú quan el factor es repeteix a l'esquerra o quan es repeteix a la dreta. no es pot treure factor comú en expressions com: AB + CA.

Exemple de producte de dues matrius

Si A, B i C tenen la dimensió adequada per poder fer les sumes i els productes, el producte de matrius compleix les propietats següents:

1. Associativa: A(BC) = (AB)C
2. Distributiva: (A + B)C = AC + BC C(A + B) = CA + CB
3. Element neutre: I_m A_mxn = A_mxn A_mxn I_n = A_mxn
4. Transposada del producte: (AB)^t = B^tA^t

Potència d'una matriu

• Per fer la potència d'una matriu (A²) s'ha de multiplicar la matriu per ella mateixa, tantes vegades com diu l'exponent.

Rang d'una matriu

• El rang d'una matriu A, donat rg(A), és el nombre de files (o columnes) linealment independents.

Rang per files

En saber quantes files són independents sabem el rang de files.

F₃ = 2F₁ + F₂, rang de les files és 2

Rang per columnes

En saber quantes columnes són independents sabem el rang de columnes.

C₂ = 2C₁ - C₃, rang de les columnes és 2

Transformacions que conserven el rang

• En fer les transformacions següents el rang de la matriu no canvia, per tant ens poden ajudar a treure el rang de la matriu:

1. Intercanviar dues files o dues columnes de posició.
2. Multiplicar els elements d'una fila o columna pel mateix nombre real diferent de zero.
3. Sumar a una fila o columna una altra multiplicada per un nombre ral.
4. Sumar a una fila o columna una combinació lineal de les seves paral·leles. Multiplicar una fila o una columna per un nombre diferent de zero no altera el rang; per tant, poden multiplicar-se tantes files o columnes com vulguem. Una vegada multiplicades, poden sumar-se a una d'aquestes la resta.
5. Eliminar una fila o columna combinació lineal de les seves paral·leles. Com que és combinació lineal de files o columnes paral·leles, no contribueix al nombre de files o columnes linealment independents.
6. Eliminar una fila o columna proporcional a una altra, ja que com que és proporcional, és combinació lineal d'aquesta.
7. Eliminar una fila o columna de zeros, ja que una fila o columna de zeros és sempre igual a una altra multiplicada per zero.
8. Transposar la matriu. El rang per files (o per columnes) passa a ser el rang per columnes (o per files), i viceversa.

Càlcul del rang d'una matriu pel mètode de Gauss

• Es tracta d'esglaonar la matriu per files:

• Una matriu esglaonada per files és aquella en la que el primer element no nul de cada fila és més a la dreta al de la fila anterior i les files nul·les estan situades a la part inferior.

1. Es realitzen successives transformacions elementals per files de la matriu fins a aconseguir una matriu equivalent esglaonada per files.
2. El rang és el nombre de files no nul·les de la matriu per files.

Matriu inversa

• Una matriu quadrada és regular o invertible si existeix una altra matriu B, d'igual dimensió.
• Una matriu quadrada pot no tenir inversa i aquestes s'anomenen matriu singulars.

Regeles a complir perquè la matriu tingui inversa (Propietats d'una matriu)

• Ha de ser quadrada (files = columnes).
• El Rang ha de ser igual a l'ordre de la matriu (rg(A)=n).
• (A·B)^-1 = B^-1 · A^-1
• (A^-1)^-1 = A
• (A·B)^t = B^t · A^t
• (A^t)^t = A
• A · A^-1 = A^-1· A = I
• AB = I → B = A^-1 | A = B^-1

A = Matriu | A^-1 = Matriu inversa | I = Matriu identitat

Càlcul de la matriu inversa

1. Apliquem la propietat A · A^-1 = I, posant lletres on hauria d'haver-hi la matriu inversa:
   
2. Multipliquem A per A^-1:
   
3. Creem un sistema d'equacions igualant cada element de la matriu amb esquerra (la que té lletres) per cada element de la matriu de la dreta (la matriu identitat):
   
4. Creem en aquest cas dos sistemes d'equacions amb les combinacions més bones per resoldre les dues incògnites:
   
5. Escollim el mètode de resolució dels sistemes (Substitució, Reducció o Igualació) i substituïm en la matriu A^-1 pels valors donats en els sistemes d'equacions
   

   A = Matriu | A^-1 = Matriu inversa | I = Matriu identitat

Càlcul de la matriu inversa pel mètode de Gauss-Jordan

• Es tracta de crear una nova matriu identitat de les mateixes dimensions que les matrius quadrades i posar-les una al costat de l'altre separades per un |, ( A | I ).

( A | I )

• Un cop fet el pas anterior, has d'intentar a partir de transformacions passar la matriu identitat a l'altre costat del |, quedant així on estava la matriu identitat la inversa, ( I |A^-1 ).