Matrius: diferència entre les revisions
De FFAWiki
Cap resum de modificació |
|||
Línia 61: | Línia 61: | ||
* La suma de matrius té les mateixes propietats conegudes de la suma de nombres reals. | * La suma de matrius té les mateixes propietats conegudes de la suma de nombres reals. | ||
* Si A< | * Si A<sub>mxn</sub> = (a<sub>ij</sub>), B<sub>mxn</sub> = (b<sub>ij</sub>) i C<sub>mxn</sub> = (c<sub>ij</sub>) són matrius de dimensió mxn, es compleixen les propietats: | ||
:#'''Commutativa:''' A + B = B + A | :#'''Commutativa:''' A + B = B + A | ||
:# '''Associativa:''' (A + B) + C = A + (B + C) | :# '''Associativa:''' (A + B) + C = A + (B + C) | ||
:# '''Element neutre:''' la matriu 0< | :# '''Element neutre:''' la matriu 0<sub>mxn</sub> és l'element neutre, és a dir, A<sub>mxn</sub> + 0<sub>mxn</sub> = A<sub>mxn</sub> | ||
:# '''Matriu opasada:''' existeix una altre matriu, (-A)< | :# '''Matriu opasada:''' existeix una altre matriu, (-A)<sub>mxn</sub>, que compleix: A<sub>mxn</sub> + (-A)<sub>mxn</sub> = 0 | ||
:# '''Transposada de la suma:''' (A + B)<sup>t</sup> = A<sup>t</sup> + B<sup>t</sup> | :# '''Transposada de la suma:''' (A + B)<sup>t</sup> = A<sup>t</sup> + B<sup>t</sup> |
Revisió del 10:57, 22 nov 2021
Definició
- Una matriu és un conjunt d'elements organitzats en files i columnes, i cada element és una dada.
Dimensions de matrius
- Les dimensions de les matrius es mesuren per m × n, on m són les files i n les columnes.
Matrius iguals
- Dues matrius són iguals si són de la mateixa dimensió i els elements que ocupen la mateixa posició en les dues són iguals.
Matrius Transposades
- Quan s'intercanvia files per columnes s'obté la seva transposada.
Classificació de Matrius
Classificació de matrius quadrades
- Les matrius quadrades no són de dimensió m x n sinó n x n.
- aii(Són aquells elements que són a la amteixa posició de fila i de columna), aij són els elements que la posició de fila no és la mateixa que la de la columna.
- A les matrius quadrades els elements en els quals l'índex de la fila és igual al de la columna formen la diagonal principal i són de la forma aii. (a11, a22, a33)
- Els elements de la forma aij amb i + j = n + 1 formen la diagonal secundària.
- Una matriu quadrada s'anomena triangular superior si són nuls tots els elements situats a sota la diagonal principal i s'anomena triangular inferior si són nuls tots els elements situats a sobre la diagonal principal.
- La matriu identitat o unitat és una matriu escalar en la qual els elements de la diagonal principal són tots 1. Si és d'ordre n, es denota per In.
- Una matriu quadrada és simètrica si es compleix que aij = aji, 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ n.
- Una matriu quadrada és antisimètrica si es compleix que aij = -aji, 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ n.
- A les matrius simètriques es compleix que A = At i a les antisimètriques, A = -At.
Suma de matrius
- Només es poden sumar aquelles matrius de la mateixa dimensió, se suma element per element i això crea una matriu nova.
- S = Aij + Bij
Propietats de Sumes de Matrius
- La suma de matrius té les mateixes propietats conegudes de la suma de nombres reals.
- Si Amxn = (aij), Bmxn = (bij) i Cmxn = (cij) són matrius de dimensió mxn, es compleixen les propietats:
- Commutativa: A + B = B + A
- Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
- Element neutre: la matriu 0mxn és l'element neutre, és a dir, Amxn + 0mxn = Amxn
- Matriu opasada: existeix una altre matriu, (-A)mxn, que compleix: Amxn + (-A)mxn = 0
- Transposada de la suma: (A + B)t = At + Bt