Matrius: diferència entre les revisions
De FFAWiki
Cap resum de modificació |
Cap resum de modificació |
||
Línia 63: | Línia 63: | ||
* Si A<sub>mxn</sub> = (a<sub>ij</sub>), B<sub>mxn</sub> = (b<sub>ij</sub>) i C<sub>mxn</sub> = (c<sub>ij</sub>) són matrius de dimensió mxn, es compleixen les propietats: | * Si A<sub>mxn</sub> = (a<sub>ij</sub>), B<sub>mxn</sub> = (b<sub>ij</sub>) i C<sub>mxn</sub> = (c<sub>ij</sub>) són matrius de dimensió mxn, es compleixen les propietats: | ||
:#'''Commutativa:''' A + B = B + A | :#'''Commutativa:''' A + B = B + A | ||
:## (a + b)<sub>ij</sub> = a<sub>ij</sub> + b<sub>ij</sub> = b<sub>ij</sub> + a<sub>ij</sub> = (b + a)<sub>ij</sub> | |||
:# '''Associativa:''' (A + B) + C = A + (B + C) | :# '''Associativa:''' (A + B) + C = A + (B + C) | ||
:# '''Element neutre:''' la matriu | :## ((a + b) + c)<sub>ij</sub> = (a<sub>ij</sub> + b<sub>ij</sub>) + c<sub>ij</sub> = a<sub>ij</sub> + (b<sub>ij</sub> + c<sub>ij</sub>) = (a + (b + c))<sub>ij</sub> | ||
:# '''Matriu opasada:''' existeix una altre matriu, (-A)<sub>mxn</sub>, que compleix: A<sub>mxn</sub> + (-A)<sub>mxn</sub> = | :# '''Element neutre:''' la matriu O<sub>mxn</sub> és l'element neutre, és a dir, A<sub>mxn</sub> + O<sub>mxn</sub> = A<sub>mxn</sub> | ||
:## (a + 0)<sub>ij</sub> = a<sub>ij</sub> + 0 = a<sub>ij</sub>. L'element ij de la matriu A<sub>mxn</sub> + 0<sub>mxn</sub> és a<sub>ij</sub> + o<sub>ij</sub> = a<sub>ij</sub> + 0 = a<sub>ij</sub> | |||
:# '''Matriu opasada:''' existeix una altre matriu, (-A)<sub>mxn</sub>, que compleix: A<sub>mxn</sub> + (-A)<sub>mxn</sub> = O<sub>mxn</sub> | |||
:## Els elements de la matriu (-A)<sub>mxn</sub> sóm els oposats als de la matriu A<sub>mxn</sub>: (-a)<sub>ij</sub> = -a<sub>ij</sub> | |||
:# '''Transposada de la suma:''' (A + B)<sup>t</sup> = A<sup>t</sup> + B<sup>t</sup> | :# '''Transposada de la suma:''' (A + B)<sup>t</sup> = A<sup>t</sup> + B<sup>t</sup> |
Revisió del 11:06, 22 nov 2021
Definició
- Una matriu és un conjunt d'elements organitzats en files i columnes, i cada element és una dada.
Dimensions de matrius
- Les dimensions de les matrius es mesuren per m × n, on m són les files i n les columnes.
Matrius iguals
- Dues matrius són iguals si són de la mateixa dimensió i els elements que ocupen la mateixa posició en les dues són iguals.
Matrius Transposades
- Quan s'intercanvia files per columnes s'obté la seva transposada.
Classificació de Matrius
Classificació de matrius quadrades
- Les matrius quadrades no són de dimensió m x n sinó n x n.
- aii(Són aquells elements que són a la amteixa posició de fila i de columna), aij són els elements que la posició de fila no és la mateixa que la de la columna.
- A les matrius quadrades els elements en els quals l'índex de la fila és igual al de la columna formen la diagonal principal i són de la forma aii. (a11, a22, a33)
- Els elements de la forma aij amb i + j = n + 1 formen la diagonal secundària.
- Una matriu quadrada s'anomena triangular superior si són nuls tots els elements situats a sota la diagonal principal i s'anomena triangular inferior si són nuls tots els elements situats a sobre la diagonal principal.
- La matriu identitat o unitat és una matriu escalar en la qual els elements de la diagonal principal són tots 1. Si és d'ordre n, es denota per In.
- Una matriu quadrada és simètrica si es compleix que aij = aji, 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ n.
- Una matriu quadrada és antisimètrica si es compleix que aij = -aji, 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ n.
- A les matrius simètriques es compleix que A = At i a les antisimètriques, A = -At.
Suma de matrius
- Només es poden sumar aquelles matrius de la mateixa dimensió, se suma element per element i això crea una matriu nova.
- S = Aij + Bij
Propietats de Sumes de Matrius
- La suma de matrius té les mateixes propietats conegudes de la suma de nombres reals.
- Si Amxn = (aij), Bmxn = (bij) i Cmxn = (cij) són matrius de dimensió mxn, es compleixen les propietats:
- Commutativa: A + B = B + A
- (a + b)ij = aij + bij = bij + aij = (b + a)ij
- Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
- ((a + b) + c)ij = (aij + bij) + cij = aij + (bij + cij) = (a + (b + c))ij
- Element neutre: la matriu Omxn és l'element neutre, és a dir, Amxn + Omxn = Amxn
- (a + 0)ij = aij + 0 = aij. L'element ij de la matriu Amxn + 0mxn és aij + oij = aij + 0 = aij
- Matriu opasada: existeix una altre matriu, (-A)mxn, que compleix: Amxn + (-A)mxn = Omxn
- Els elements de la matriu (-A)mxn sóm els oposats als de la matriu Amxn: (-a)ij = -aij
- Transposada de la suma: (A + B)t = At + Bt
- Commutativa: A + B = B + A