Matrius

Definició

• Una matriu és un conjunt d'elements organitzats en files i columnes, i cada element és una dada.

Dimensions de matrius

• Les dimensions de les matrius es mesuren per m × n, on m són les files i n les columnes.

Matrius iguals

• Dues matrius són iguals si són de la mateixa dimensió i els elements que ocupen la mateixa posició en les dues són iguals.

Matrius Transposades

Quan s'intercanvia files per columnes s'obté la seva transposada.

• 

  Matriu C 2x3

• 

  Matriu Transposada C^t 2x3

Classificació de Matrius

• 

  Una matriu de dimensió m x n és rectangular si m ≠ n

• 

  Una matriu és quadrada si m = n

• 

  Una matriu fila és una matriu rectangular amb una sola fila

• 

  Una matriu columna és una matriu rectangular amb una sola columna

Classificació de matrius quadrades

• Les matrius quadrades no són de dimensió m x n sinó n x n.
• a_ii(Són aquells elements que són a la amteixa posició de fila i de columna), a_ij són els elements que la posició de fila no és la mateixa que la de la columna.

• A les matrius quadrades els elements en els quals l'índex de la fila és igual al de la columna formen la diagonal principal i són de la forma a_ii. (a₁₁, a₂₂, a₃₃)
• Els elements de la forma a_ij amb i + j = n + 1 formen la diagonal secundària.

Taronja -> Diagonal principal | Blau -> diagonal secundària

• Una matriu quadrada s'anomena triangular superior si són nuls tots els elements situats a sota la diagonal principal i s'anomena triangular inferior si són nuls tots els elements situats a sobre la diagonal principal.
• La matriu identitat o unitat és una matriu escalar en la qual els elements de la diagonal principal són tots 1. Si és d'ordre n, es denota per I_n.
• Una matriu quadrada és simètrica si es compleix que a_ij = a_ji, 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ n.
• Una matriu quadrada és antisimètrica si es compleix que a_ij = -a_ji, 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ n.
  • A les matrius simètriques es compleix que A = A^t i a les antisimètriques, A = -A^t.

• 

  Matriu Triangular Superior

• 

  Matriu Triangular Inferior

• 

  Matriu Diagonal

• 

  Matriu Escalar

• 

  Matriu Simètrica

• 

  Matriu Antisimètrica

Suma de matrius

• Només es poden sumar aquelles matrius de la mateixa dimensió, se suma element per element i això crea una matriu nova.
  • S = A_ij + B_ij

Exemple de suma de Matrius

Propietats de Sumes de Matrius

• La suma de matrius té les mateixes propietats conegudes de la suma de nombres reals.
• Si A_mxn = (a_ij), B_mxn = (b_ij) i C_mxn = (c_ij) són matrius de dimensió mxn, es compleixen les propietats:

1. Commutativa: A + B = B + A
   1. (a + b)_ij = a_ij + b_ij = b_ij + a_ij = (b + a)_ij
2. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
   1. ((a + b) + c)_ij = (a_ij + b_ij) + c_ij = a_ij + (b_ij + c_ij) = (a + (b + c))_ij
3. Element neutre: la matriu O_mxn és l'element neutre, és a dir, A_mxn + O_mxn = A_mxn
   1. (a + 0)_ij = a_ij + 0 = a_ij. L'element ij de la matriu A_mxn + 0_mxn és a_ij + o_ij = a_ij + 0 = a_ij
4. Matriu opasada: existeix una altre matriu, (-A)_mxn, que compleix: A_mxn + (-A)_mxn = O_mxn
   1. Els elements de la matriu (-A)_mxn sóm els oposats als de la matriu A_mxn: (-a)_ij = -a_ij
5. Transposada de la suma: (A + B)^t = A^t + B^t

Producte d'un nombre real per una matriu

• En multiplicar un nombre real amb una matriu crea una matriu nova.
• Per multiplicar agafes el nombre real i el multipliques per cada element de la matriu.

Exemple de multiplicació de matriu per un nombre real

Propietats del producte de nombres reals per matrius

• Si A_mxn = (a_ij) i B_mxn = (b_ij) són matrius de dimensió mxn i , λ, μ ∈ ℝ, es compleixen les propietats:

1. Commutativa: λA = Aλ
2. Distributiva respecte a la suma de matrius: λ (A + B) = λA + λB
3. Distributiva respecte la suma de nombres: (λ + μ)A = λA + μA
4. Associativa: λ(μA) = (λμ)A
5. Producte per la unitat: 1A = A

Producte d'una matriu fila per una matriu columna

• Es poden multiplicar si tenen el mateix nombre d'elements.
• El resultat és una matriu d'un sol element.

Exemple d'una matriu fila per una matriu columna

Producte de dues matrius

• Si el nombre de columnes de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona, es poden multiplicar.
• El resultat serà una matriu amb el nombre de files de la primera i amb el nombre de columnes de la segona.
• El producte de les matrius no és commutatiu.
• No són aplicables les fórmules dels productes notables.
• Només es pot treure factor comú quan el factor es repeteix a l'esquerra o quan es repeteix a la dreta. no es pot treure factor comú en expressions com: AB + CA.

Exemple de producte de dues matrius

Si A, B i C tenen la dimensió adequada per poder fer les sumes i els productes, el producte de matrius compleix les propietats següents:

1. Associativa: A(BC) = (AB)C
2. Distributiva: (A + B)C = AC + BC C(A + B) = CA + CB
3. Element neutre: I_m A_mxn = A_mxn A_mxn I_n = A_mxn
4. Transposada del producte: (AB)^t = B^tA^t