Determinants

Definició

• A les matrius quadrades de nombres reals se'ls pot associar un nombre anomenat determinant.

Determinant d'ordre 2

• Per extreure el determinant (det(A) o |A|) d'una matriu quadrada d'ordre 2 s'ha de fer:

Determinant d'ordre 3

• Per extreure el determinant (det(A) o |A|) d'una matriu quadrada d'ordre 3 s'ha de fer:

• Per recordar els sumands del determinant d'ordre 3 i el signe podem fer servir la regla de Sarrus:.

Menor d'una matriu

• El menor d'una matriu és aquell determinant que s'obté a partir del resultat d'eliminar d'una matriu quadrada qualsevol nombre de files o de columnes en una dimensió qualsevol.
• El menor complementari de l'element a_ij denotat per M_ij és aquell element que es troba en el mig de la fila i de la columna j.
• A les matrius quadrades d'ordre 2, el menor complementari de qualsevol element és un nombre.

Adjunt d'un element

• A cada menor complementari se li pot assignar un signe, positiu si és parell i negatiu si és senar.
• S'anomena de l'element a_ij (anomenat A_ij), el seu menor complementari multiplicat per (-1)^i+j:
  • (-1)^i+jM_ij

És millor pensar que d'esquerra a dreta és: + - + - i així fins a acabar la matriu que fer la formula.

Determinant d'una matriu quadrada de qualsevol ordre

• Si Aⁿ = (a^i+j) és una matriu quadrada d'ordren, el seu determinant s'obté per mitjà de la suma:
  • |A| = a¹¹A¹¹ + a¹²A¹²+a¹³ + ··· + a¹ⁿA¹ⁿ
    • A = Andjunt de l'element, a = element.

Propietats dels determinants

Característiques dels elements d'una columna o fila

• det(C₁,C₂,C₃) + det(C₁,C'₂,C₃) = det(C₁,C₂ + C'₂,C₃)
• Si una fila o columna d'una matriu quadrada es multiplica per un nombre real, el determinat de la matriu queda multiplicat per aquest nombre.
  • det(C₁,C₂,KC₃) = kdet(C₁,C₂,C₃)

Combinacions lineals

• Si tots els elemntes d'una columna o fila d'una matriu quadrada són nuls, el determinant de la matriu és zero.
  • det(C₁,0,₃) = det(₁,Csub>2-Csub>2) = det(C₁,C₂,C₃) - det(C₁,C₂,C₃) = 0
• Si una matriu quadrada té dies columnes o files iguals, el seu determinant és nul.
• Si una matriu quadrada, una columna o fila és proporcional a una altra, el seu determinant és nul.
  • det(C₁,λC₂,C₃) = λdet(C₁,C₂,C₃) = 0
• Si en una matriu quadrada una columna o fila és combinació de les seves paral·leles, el seu determinant és nul.

Transformacions en les matrius

• Si en una matriu quadrada s'intercanvien entre elles dues columnes o dues files, el seu determinant canvia de signe.
• Si en una matriu quadrada se suma a una columna o una fila una combinació lineal de les seves paral·leles, el determinant no varia.
• Si es transposa una matriu quadrada, el seu determinant no varia: |A|=|A^t|.

Operacions amb matrius

• det(A·B) = det(A) · det(B)
• 
  , que aquesta relació s'obté de:
  • 

Determinant d'una matriu triangular

• El determinant d'una matriu triangular és igual al producte dels elements de la diagonal principal.

Càlcul de determinants pel mètode de Gauss

• Es tracta que a partir de transformacions senzilles (tenint en compte que s'està calculant el determinant) aconseguir transformar la matriu en una matriu triangular.

Calcular el rang a partir dels menors d'una matriu

• Es tracta d'agafar els menors (de dimensió més petita a més gran) i fer el càlcul d'ells. En el cas que el determinant del menor sigui diferent de 0 s'entendrà que l'ordre (n) d'aquell menor serà el rang de la matriu, sempre que no hi hagi un menor d'ordre més gran que el seu determinant sigui diferent de 0.

El rang és 2

Calcular la matriu inversa a partir de Determinants

• Si una matriu quadrada, amb determinant diferent de 0 ( det(A) ≠ 0 ), amb aquesta fórmula pot calcular la matriu inversa:

Exemple