Matrius

De FFAWiki

Definició

  • Una matriu és un conjunt d'elements organitzats en files i columnes, i cada element és una dada.

Dimensions de matrius

  • Les dimensions de les matrius es mesuren per m × n, on m són les files i n les columnes.

Matrius iguals

  • Dues matrius són iguals si són de la mateixa dimensió i els elements que ocupen la mateixa posició en les dues són iguals.

Matrius Transposades

Quan s'intercanvia files per columnes s'obté la seva transposada.

Classificació de Matrius

Classificació de matrius quadrades

  • Les matrius quadrades no són de dimensió m x n sinó n x n.
  • aii(Són aquells elements que són a la amteixa posició de fila i de columna), aij són els elements que la posició de fila no és la mateixa que la de la columna.
  • A les matrius quadrades els elements en els quals l'índex de la fila és igual al de la columna formen la diagonal principal i són de la forma aii. (a11, a22, a33)
  • Els elements de la forma aij amb i + j = n + 1 formen la diagonal secundària.
Taronja -> Diagonal principal | Blau -> diagonal secundària
  • Una matriu quadrada s'anomena triangular superior si són nuls tots els elements situats a sota la diagonal principal i s'anomena triangular inferior si són nuls tots els elements situats a sobre la diagonal principal.
  • La matriu identitat o unitat és una matriu escalar en la qual els elements de la diagonal principal són tots 1. Si és d'ordre n, es denota per In.
  • Una matriu quadrada és simètrica si es compleix que aij = aji, 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ n.
  • Una matriu quadrada és antisimètrica si es compleix que aij = -aji, 1 ≤ i ≤ n i 1 ≤ j ≤ n.
    • A les matrius simètriques es compleix que A = At i a les antisimètriques, A = -At.

Suma de matrius

  • Només es poden sumar aquelles matrius de la mateixa dimensió, se suma element per element i això crea una matriu nova.
    • S = Aij + Bij
Exemple de suma de Matrius

Propietats de Sumes de Matrius

  • La suma de matrius té les mateixes propietats conegudes de la suma de nombres reals.
  • Si Amxn = (aij), Bmxn = (bij) i Cmxn = (cij) són matrius de dimensió mxn, es compleixen les propietats:
  1. Commutativa: A + B = B + A
    1. (a + b)ij = aij + bij = bij + aij = (b + a)ij
  2. Associativa: (A + B) + C = A + (B + C)
    1. ((a + b) + c)ij = (aij + bij) + cij = aij + (bij + cij) = (a + (b + c))ij
  3. Element neutre: la matriu Omxn és l'element neutre, és a dir, Amxn + Omxn = Amxn
    1. (a + 0)ij = aij + 0 = aij. L'element ij de la matriu Amxn + 0mxn és aij + oij = aij + 0 = aij
  4. Matriu opasada: existeix una altre matriu, (-A)mxn, que compleix: Amxn + (-A)mxn = Omxn
    1. Els elements de la matriu (-A)mxn sóm els oposats als de la matriu Amxn: (-a)ij = -aij
  5. Transposada de la suma: (A + B)t = At + Bt

Producte d'un nombre real per una matriu

  • En multiplicar un nombre real amb una matriu crea una matriu nova.
  • Per multiplicar agafes el nombre real i el multipliques per cada element de la matriu.
Exemple de multiplicació de matriu per un nombre real

Propietats del producte de nombres reals per matrius

  • Si Amxn = (aij) i Bmxn = (bij) són matrius de dimensió mxn i , λ, μ ∈ ℝ, es compleixen les propietats:
  1. Commutativa: λA = Aλ
  2. Distributiva respecte a la suma de matrius: λ (A + B) = λA + λB
  3. Distributiva respecte la suma de nombres: (λ + μ)A = λA + μA
  4. Associativa: λ(μA) = (λμ)A
  5. Producte per la unitat: 1A = A

Producte d'una matriu fila per una matriu columna

  • Es poden multiplicar si tenen el mateix nombre d'elements.
  • El resultat és una matriu d'un sol element.
Exemple d'una matriu fila per una matriu columna

Producte de dues matrius

  • Si el nombre de columnes de la primera coincideix amb el nombre de files de la segona, es poden multiplicar.
  • El resultat serà una matriu amb el nombre de files de la primera i amb el nombre de columnes de la segona.
  • El producte de les matrius no és commutatiu.
  • No són aplicables les fórmules dels productes notables.
  • Només es pot treure factor comú quan el factor es repeteix a l'esquerra o quan es repeteix a la dreta. no es pot treure factor comú en expressions com: AB + CA.
Exemple de producte de dues matrius

Si A, B i C tenen la dimensió adequada per poder fer les sumes i els productes, el producte de matrius compleix les propietats següents:

  1. Associativa: A(BC) = (AB)C
  2. Distributiva: (A + B)C = AC + BC C(A + B) = CA + CB
  3. Element neutre: Im Amxn = Amxn Amxn In = Amxn
  4. Transposada del producte: (AB)t = BtAt

Rang d'una matriu

  • El rang d'una matriu A, donat rg(A), és el nombre de files (o columnes) linealment independents.

Rang per files

En saber quantes files són independents sabem el rang de files.
F3 = 2F1 + F2, rang de les files és 2

Rang per columnes

En saber quantes columnes són independents sabem el rang de columnes.
C2 = 2C1 - C3, rang de les columnes és 2

Transformacions que conserven el rang

  • En fer les transformacions següents el rang de la matriu no canvia, per tant ens poden ajudar a treure el rang de la matriu:
  1. Intercanviar dues files o dues columnes de posició.
  2. Multiplicar els elements d'una fila o columna pel mateix nombre real diferent de zero.
  3. Sumar a una fila o columna una altra multiplicada per un nombre ral.
  4. Sumar a una fila o columna una combinació lineal de les seves paral·leles. Multiplicar una fila o una columna per un nombre diferent de zero no altera el rang; per tant, poden multiplicar-se tantes files o columnes com vulguem. Una vegada multiplicades, poden sumar-se a una d'aquestes la resta.
  5. Eliminar una fila o columna combinació lineal de les seves paral·leles. Com que és combinació lineal de files o columnes paral·leles, no contribueix al nombre de files o columnes linealment independents.
  6. Eliminar una fila o columna proporcional a una altra, ja que com que és proporcional, és combinació lineal d'aquesta.
  7. Eliminar una fila o columna de zeros, ja que una fila o columna de zeros és sempre igual a una altra multiplicada per zero.
  8. Transposar la matriu. El rang per files (o per columnes) passa a ser el rang per columnes (o per files), i viceversa.

Càlcul del rang d'una matriu pel mètode de Gauss

  • Es tracta d'esglaonar la matriu per files:
  • Una matriu esglaonada per files és aquella en la que el primer element no nul de cada fila és més a la dreta al de la fila anterior i les files nul·les estan situades a la part inferior.
  1. Es realitzen successives transformacions elementals per files de la matriu fins a aconseguir una matriu equivalent esglaonada per files.
  2. El rang és el nombre de files no nul·les de la matriu per files.

Matriu inversa

  • Una matriu quadrada és regular o invertible si existeix una altra matriu B, d'igual dimensió.
  • Una matriu quadrada pot no tenir inversa i aquestes s'anomenen matriu singulars.

Regeles a complir perquè la matriu tingui inversa (Propietats d'una matriu)

  • Ha de ser quadrada (files = columnes).
  • El Rang ha de ser igual a l'ordre de la matriu (rg(A)=n).
  • (A·B)-1 = B-1 · A-1
  • (A-1)-1 = A
  • (A·B)t = Bt · At
  • (At)t = A
  • A · A-1 = A-1· A = I
  • AB = I → B = A-1 | A = B-1
A = Matriu | A-1 = Matriu inversa | I = Matriu identitat

Càlcul de la matriu inversa

  1. Apliquem la propietat A · A-1 = I, posant lletres on hauria d'haver-hi la matriu inversa:
  2. Multipliquem A per A-1:
    Pas2CaluclanMatriuInversa.png
  3. Creem un sistema d'equacions igualant cada element de la matriu amb esquerra (la que té lletres) per cada element de la matriu de la dreta (la matriu identitat):
  4. Creem en aquest cas dos sistemes d'equacions: